# 8. Huai-Yu Wang, The mathematical physical equations ....

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Volume 35: Pages 380-391, 2022

The mathematical physical equations satisfied by retarded and advanced Green’s functions

Huai-Yu Wanga)

Department of Physics, Tsinghua University, Beijing 100084, China

In mathematical physics, time-dependent Green’s functions (GFs) are the solutions of differential equations of the first and second time derivatives. Habitually, the time-dependent GFs are Fourier transformed into the frequency space. Then, analytical continuation of the frequency is extended to below or above the real axis. After inverse Fourier transformation, retarded and advanced GFs can be obtained, and there may be arbitrariness in such analytical continuation. In the present work, we establish the differential equations from which the retarded and advanced GFs are rigorously solved. The key point is that the derivative of the time step function is the Dirac d function plus an infinitely small quantity, where the latter is not negligible because it embodies the meaning of time delay or time advance. The retarded and advanced GFs defined in this paper are the same as the one-body GFs defined with the help of the creation and destruction operators in many-body theory. There is no way to define the causal GF in mathematical physics, and the reason is given. This work puts the initial conditions into differential equations, thereby paving a way for solving the problem of why there are motions that are irreversible in time.

En physique mathématique, les fonctions de Green (GF) dépendant du temps sont les solutions des équations différentielles des dérivées première et seconde du temps. Habituellement, les GFs dépendant du temps sont transformées de Fourier dans l'espace des fréquences. Puis la fréquence est prise de suite analytique au-dessous ou au-dessus de l'axe réel. Après transformation de Fourier inverse, des GFs retardés et avancés peuvent être obtenus. Il peut y avoir de l'arbitraire dans une telle poursuite analytique. Dans ce travail, les équations différentielles pour les GFs retardés et avancés sont établies. Les GFs retardés et avancés sont résolus rigoureusement à partir des équations. Le point clé est que la dérivée de la fonction de pas de temps est la fonction de Dirac d plus une quantité infiniment petite, où cette dernière n'est pas négligeable car elle incarne le sens de retard ou d'avance dans le temps. Les GFs retardés et avancés définis dans cet article sont les mêmes que les GFs à un corps définis à l'aide des opérateurs de création et de destruction dans la théorie à plusieurs corps. Les auteurs donnent la raison qu'il n'y a aucun moyen de définir le GF causal en physique mathématique. Ce travail met les conditions initiales dans les équations différentielles, ce qui ouvre la voie à la résolution du problème pourquoi il y a des mouvements qui sont irréversibles dans le temps.

Key words: Retarded and Advanced Green’s Functions; Causal Green’s Function; Step Function; Dirac d Function; Mathematical Physics; Propagator; One-Body Green’s Function; Many-Body Theory.

Received: August 23, 2022; Accepted: October 22, 2022; Published Online: November 14, 2022

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