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Volume 28: Pages 399-412, 2015
Mathematical aesthetic principles and nonintegrable systems
Murray Muraskina)
University of North Dakota, Grand Forks, North Dakota 58201, USA
This article is an outline of the talks given by Muraskin and is a summary of his book “Mathematical Aesthetic Principles/Nonintegrable Systems” published by World Scientific Press in 1995, as well as many articles published by him, and also includes some additional observations. The discussion presents a study of a set of mathematical principles that can be classified as “aesthetic” and shows that these principles can be cast into a set of nonlinear equations. The system of equations is nonintegrable in general. New techniques to handle the nonintegrability feature are discussed. We then illustrate how this system of equations leads to sinusoidal solutions, sine within sine solutions, the phenomenon known as beats, random type oscillations, two and three-dimensional lattices, as well as multiwave packet systems. The sinusoidal solutions occur when the arbitrary data associated with the equations cause the equations to be linearized. The sinusoidal behavior totally disappears once the integrability equations are satisfied, illustrating how important the nonintegrability concept is to the development.
Cet article est une ébauche des exposés donnés par Murray Muraskin et un résumé de son livre “Principes d’esthétique mathématique/Systèmes non intégrables” publié par World Scientific Press en 1995, ainsi que de nombreux articles publiés par lui, et comprend également un certain nombre d’observations supplémentaires. La discussion présente l’étude d’un ensemble de principes mathématiques qui peuvent être classés comme "esthétiques", et montre que ces principes mathématiques peuvent être coulés dans un ensemble d’équations non linéaires. Le système d’équations est non intégrable en général. De nouvelles techniques pour traiter la caractéristiques de non intégrabilité sont discutées. Nous avons ensuite montré comme ce système d’équations mène à des solutions sinusoïdales, sinusoïde dans sinusoïde, le phénomène connu sous le nom de battements, oscillations de type aléatoire, treillis bidimensionnel et tridimensionnel, ainsi que les systèmes de paquets d’ondes multiples. Les solutions sinusoïdales se produisent lorsque les données arbitraires associées aux équations provoquent la linéarisation des équations. Le comportement sinusoïdal disparait complètement lorsque les équations d’intégrabilité sont satisfaites, ce qui montre l’importance du concept de non intégrabilité pour le développement.
Key words: Mathematical Aesthetics; Nonintegrable Systems; Mathematical Model Universes; Nonlinear Equations.
Received: April 9, 2015; Accepted: August 16, 2015; Published Online: September 5, 2015
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